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大二春夏

材料力学

绪论

基本概念

  • 构件：

    1. 杆件：
      1. 横截面：等截面和变截面
      2. 轴线：直杆和曲杆
    2. 板壳
    3. 块体

  • 变形：弹性变形，塑性变形

  • 内力：

  • 失效：失去原有设计所规定的功能

    杆件与力：

  • 拉压杆，拉压力

  • 转轴，扭转

  • 柱子，两端受压

  • 梁，弯曲

    性质

    材料力学研究三个主要的性质

  • 强度：抵抗破坏

  • 刚度：抵抗变形

  • 稳定性：保持原有平衡状态的能力

基本假设

定义：由固体构成，外力作用下将发生变形，称为变形固体

基本假设：

  1. 连续性假设：变形前后无空隙
  2. 均匀性假设：任何部分力学性能相同
  3. 各向同性假设：物体沿着不同方向力学性能相同
  4. 构体变形微小

外力

作用方式

  • 体积力
  • 表面力：分布力和集中力

时间

  • 静载荷
  • 动载荷：交变和冲击 从而产生，静强度，动强度和疲劳强度的概念

内力

内力和内力矩

内力：轴力和剪力

力矩：扭矩和弯矩

  • 求内力

截面法，截取代平

内力集度（应力）

内力集度——应力：正应力，切（剪）应力

  1. 正应力：垂直截面，$\sigma =\lim_{\bigtriangleup A \to 0} \frac{dF_A}{dA} $

  2. 切（剪）应力：$\sigma =\lim_{\bigtriangleup A \to 0} \frac{dF_S}{dA} $

变形

  • 线变形：长度变化
  • 角变形：线段的夹角变化

应变：度量构件一点处的变形程度

  1. $$ \epsilon _{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta x} $$

  2. 切应变（角应变）：对应的是切应力

    • M点在xy平面内的切应变
    • $\gamma =\alpha +\beta $

变形的基本形式

  1. 拉伸与压缩：受力（正应力）
  2. 弯曲：受到弯矩
  3. 扭转：受扭矩：作用线垂直于轴线。
  4. 剪切：受到大小相等，方向相反，靠的很近的力

拉伸、压缩与剪切

轴向拉伸与压缩

轴力：截面上的内力，与杆件的轴线重合

  • 拉为正，压为负（像弹簧一样，给对方拉力为正，给压力为负）
  • 画图时，正值在上方，负值在下方

横截面上的内力与应力

  • 假设：轴向拉伸后仍为平面
  1. 纵向纤维，伸长量相等
  2. 受力相等
  3. 各点应力相等
$$ \sigma=\frac{F_N}{A} $$

其中的$F_N=F$为拉、压力

改公式假设横截面上的每一点的正应力相等，但是，当以集中力的方式作用时，正应力分布不均匀

所以引入圣维南定理：在距离外力区域较远的区域，集中力造成的影响可以忽略（离外力一个宽度的距离）

斜截面的应力

$$ \left\{\begin{matrix} \sigma _\alpha=\sigma_0\cos^2\alpha\\ \tau_\alpha =\frac{\sigma_0}{2}\sin2\alpha \end{matrix}\right. $$

符号规定

  • 其中的$\alpha$为斜面的法向量与x轴正方向的夹角（顺时针为正，逆时针为负）

  • $$正应力\left\{\begin{matrix} 拉伸为正\\压缩为负\\\end{matrix}\right.$$
  • $$切应力\left\{\begin{matrix} 顺时针为正\\逆时针为负\\\end{matrix}\right.$$

    此处的顺逆时针为切应力对内部的一点取矩

  • 也可以通过图像来判断正负

拉伸时的力学性能

  • 力学性能：在外力作用下材料在变形和破坏方面表现出的力学性能

拉伸低碳钢的应力-应变图

  • oa:线弹性阶段：

$\sigma=E\varepsilon $

E为弹性模量（GPa）=$\tan\alpha$

$\sigma_P$：比例极限

  • ob：非线弹性阶段：b为弹性阶段的最高点

$\sigma_e$：弹性极限

  • bc：屈服阶段：失去抵抗变形的能力

$\sigma_s$：屈服极限：波动的最低点

  • ce：强化阶段，恢复了抵抗变形的能力

  • ef：局部变形阶段：出现颈缩现象，f之后断开

低碳钢的力学性能

试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由 $l_0$ 变为

$l_1$，横截面积原为 $A_0$，断口处的最小横截面积为 $A_1$。我们定义两个

$$ 断后伸长率\delta =\frac{l_1-l_0}{l_0}\\ 断面收缩率\Psi =\frac{A_1-A_0}{A_0}\\ $$

$\delta>5$%为塑性材料，反之为脆性材料$

卸载定理及冷作硬化

  • 材料在卸载过程中应力和应变是线性关系，这就是卸载定律。
  • 材料的比例极限增高，延伸率降低，称之为冷作硬化或加工硬化。

对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用名义屈服极限$\sigma_{p0.2}$来表示。在$\varepsilon =0.2%$的位置做弹性线的平行线，与原来曲线的交点的纵坐标。

脆性材料

$\sigma_{bt}$：拉伸强度极限（约为140MPa）。它是衡量脆性材（铸铁）拉伸的唯一强度指标。

压缩

塑性材料

  1. 低碳钢压缩时的直线斜率和屈服极限$\sigma_s$与拉伸时相同。
  2. 屈服阶段后，试件越压越扁，横截面面积不断增大，试件不可能被压断，因此得不到压缩时的强度极限。

脆性材料

  1. 脆性材料的抗拉与抗压性质不完全相同；
  2. 压缩时的强度极限远大于拉伸时的强度极限。
  3. 铸铁压缩时破坏端面与横截面大致成45º到 55º倾角，表明这类试件主要因剪切而破坏。

失效、安全系数和强度计算

安全因数和许用应力

  • $$ \sigma=\frac{F_N}{A} $$

  • 两个强度指标$\sigma_s$和$\sigma_b$称作极限应力或危险应力，并用$\sigma_u$表示

$$ 极限应力\left\{\begin{matrix} 塑性材料 \sigma_u=\sigma_s(\sigma_{p0.2})\\脆性材料\sigma_u=\sigma_{bt}(\sigma_{bc})\\\end{matrix}\right. $$
  • 许用应力：
$$ [\sigma]=\frac{\sigma_u}{n} $$

工作应力必须小于等于许用应力

$n:安全因数$

$[\sigma]：许用应力$

  • 塑性材料的许用应力：$[\sigma]=\frac{\sigma_s}{n_s}$
  • 脆性材料的许用应力：$[\sigma]=\frac{\sigma_{bt}}{n_b}$

强度条件

  • 杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力

  • 应用：根据强度条件，可以解决三类强度计算问题

  1. 强度校核：$\sigma_{max}=\frac{F_N}{A}\leqslant[\sigma]$
  2. 设计截面：$A\geqslant\frac{F_N}{\sigma}$
  3. 确定许可载荷：$F_N \leqslant A[\sigma]$

胡克定理

  • 现代表述：实验表明，当杆内应力不超过材料的某一极限值（比例极限）时，有
$$ \Delta l\propto\frac{Fl}{A} $$$$ \Delta l=\frac{Fl}{EA} $$
  • 推论：
$$ \sigma=E\varepsilon $$

弹性模量

EA称为杆的抗拉（抗压）刚度，比例常数E称为弹性模量（杨氏模量）

常用单位：MPa或GPa

橡胶的弹性模量：8 MPa；钢的弹性模量：210 GPa；钻石的弹性模量：1100 GPa

描述固体材料抵抗变形能力的物理量

E是一个形容刚度的物理量，学到现在的第一个

泊松比

纵向：$\varepsilon=\frac{\Delta l}{l}$

横向：$\varepsilon’=\frac{\Delta l}{l}$

$$ \mu=\left | \frac{\varepsilon'}{\varepsilon} \right | $$

钢材的μ约为0.25到0.33

  • 对于传统材料：

    杆件拉伸，纵向线应变为正，而横向线应变为负；

    杆件压缩，纵向线应变为负，而横向线应变为正；

    纵向线应变和横向线应变的正负号通常恰好相反。

  • 泊松比的范围在-1~0.5（存在负泊松比材料）

例题：

以切代弧：作垂线，交点即为最后的位置

轴向拉伸或压缩时的应变能

  • 应变能（Vε）：固体在外力作用下，因变形而储存的能量 称应变能。
$$ \begin{aligned} W & =\frac{1}{2} F \Delta l \\ V_{\varepsilon} & =W=\frac{1}{2} F \Delta l \\ & =\frac{1}{2} F \frac{F l}{E A}=\frac{F^{2} l}{2 E A} \end{aligned} $$
  • 应变能密度：单位体积内储存的应变能
$$ v=\frac{\mathrm{V}_{\varepsilon}}{V}=\frac{\frac{1}{2} F \Delta l}{A l}=\frac{1}{2} \sigma \varepsilon $$
  • 变形：
$$ v=\frac{\sigma^2}{2E}\\ v=\frac{E\varepsilon^2}{2} $$

可以用应变能解决垂直位移的问题（功能关系）：

使用力求出应变能，再使用功=能解出

拉伸与压缩时的超静定问题

静定与超静定问题

静定问题：

杆件的轴力（或约束反力）可以用静力平衡条件求出，这种情况称作静定问题。

未知力（内力或外力）个数等于独立的平衡方程数

超静定问题

杆件的轴力（或约束反力）只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超静定问题。 未知力个数多于独立的平衡方程数 超静定结构：结构的强度和刚度均得到提高

独立平衡方程数目：

平面任意力系：3个平衡方程

平面共点力系：2个平衡方程

变形协调：

基于胡克定理

求解超静定问题的方法

求解超静定问题，除了平衡方程外，还需要根据多余约 束对位移或变形的限制，建立各部分位移或变形之间的几何 关系，即建立几何方程，称为变形协调方程，并建立力与位 移或变形之间的物理关系，即物理方程，将二者联立才能找 到求解超静定问题所需的补充方程。

步骤：

  • 超静定度（次）数：

​ 约束反力多于独立平衡方程的数目

​ n=未知力的个数-独立平衡方程的数目

  • 求解超静定问题的步骤：

    1. 确定超静定度数列静力平衡方程
    2. 根据变形协调条件列变形几何方程
    3. 将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得补充方程；
    4. 联立补充方程与静力平衡方程求解。

温度应力和装配应力

温度应力：

​ 温度变化将引起物体的膨胀或收缩。静定结构可以自由变形，不会引起构件的内力，但在超静定结构中变形将受到部分或全部约束，温度变化时往往就要引起内力，与之相对应的应力称为热应力或温度应力。

$$ \sigma_{T}=\frac{F_{R B}}{A}=\alpha_{l} E \Delta T（压） $$

$\Delta T -温度变化（升高）$

$\alpha_l-材料的线胀系数$

形式

杆的变形分为两部分：

  1. 杆件的温度变形：（伸长）
$$ \Delta l_{T}=\alpha_{l} \Delta T \cdot l $$
  1. 杆端作用产生的缩短：
$$ \Delta l_{B}=-\frac{F_{R B} l}{E A} $$
装配应力

装配应力的例题

应力集中

  • 理论应力集中因数：
$$ K=\frac{\sigma_{max}}{\sigma} $$

$\sigma$为平均应力，$\sigma_{max}$为最大的应力

  1. 尺寸变化越急剧、角越尖、孔越小，应力集中的程度越严重。
  2. 应力集中对塑性材料的影响不大；应力集中对脆性材料的影响严重，应特别注意

剪切与挤压的实用计算

剪切的实用计算

  • 剪切受力特点：

    构件受两组大小相等、方向相反、作用线相互很近的平行力系作用。

  • 变形特点：

    位于两力之间的截面发生相对错动。

钢板在受铆钉孔削弱的截面处，应力增大，易在连接处拉断。

  1. 铆钉：$F_s=F$
  2. 销轴连接：$F_s=\frac{F}{2}$
$$ \tau=\frac{F_s}{A} $$

剪切

剪切面位m-m，平行于剪切力

公式

$$ 切应力强度条件： \tau=\frac{F_{s}}{A} \leq[\tau]=\frac{\tau_{u}}{n} \\ [\tau] ：许用切应力，常由实验方法确定；\\ \tau_{u} ：剪切极限应力；\quad n ：安全系数\\ 塑性材料： \quad[\tau]=(0.5-0.7)[\sigma] \\ 脆性材料： \quad[\tau]=(0.8-1.0)[\sigma] $$

挤压的实用计算

  • 螺栓与钢板相互接触的侧面上，发生的彼此间的局部承压现象，称为挤压。

  • 在接触面上的压力，称为挤压力。

$$ 挤压力\quad F_{bs}=F $$$$ \sigma_{bs}=\frac{F_{bs}}{A_{bs}} $$

挤压面积的计算

  1. 接触面位平面时，为实际接触面积
  2. 接触面为圆柱面时，为直径投影面面积$A=dh$

圆柱面

公式

$$ 挤压强度条件： \sigma_{b s}=\frac{F_{b s}}{A_{b s}} \leq\left[\sigma_{b s}\right]\\ \left[\sigma_{b s}\right] ：许用挤压应力，常由实验方法确定\\ 塑性材料： \quad\left[\sigma_{b s}\right]=(1.5-2.5)[\sigma]\\ 脆性材料： \quad\left[\sigma_{b s}\right]=(0.9-1.5)[\sigma] $$

强度条件的应用

  • 剪切与挤压的强度条件：
  1. 校核强度
$$ \tau \leq[\tau] \quad \sigma_{b s} \leq\left[\sigma_{b s}\right]\\ $$
  1. 设计截面
$$ A \geq \frac{F_{S}}{[\tau]} \quad A_{b s} \geq \frac{F}{\left[\sigma_{b s}\right]}\\ $$
  1. 求许可载荷：
$$ F_{S} \leq[\tau] A \quad F \leq\left[\sigma_{b s}\right]_{A b s}\\ $$
  1. 破坏条件：
$$ \tau \geq \tau_{u}\\ $$

复习总结：第八次课