绪论

基本概念

• 构件：

  1. 杆件：
     1. 横截面：等截面和变截面
     2. 轴线：直杆和曲杆
  2. 板壳
  3. 块体

• 变形：弹性变形，塑性变形

• 内力：

• 失效：失去原有设计所规定的功能

  杆件与力：

• 拉压杆，拉压力

• 转轴，扭转

• 柱子，两端受压

• 梁，弯曲

  性质

  材料力学研究三个主要的性质

• 强度：抵抗破坏

• 刚度：抵抗变形

• 稳定性：保持原有平衡状态的能力

基本假设

定义：由固体构成，外力作用下将发生变形，称为变形固体

基本假设：

1. 连续性假设：变形前后无空隙
2. 均匀性假设：任何部分力学性能相同
3. 各向同性假设：物体沿着不同方向力学性能相同
4. 构体变形微小

外力

作用方式

• 体积力
• 表面力：分布力和集中力

时间

• 静载荷
• 动载荷：交变和冲击 从而产生，静强度，动强度和疲劳强度的概念

内力

内力和内力矩

内力：轴力和剪力

力矩：扭矩和弯矩

• 求内力

截面法，截取代平

内力集度（应力）

内力集度——应力：正应力，切（剪）应力

1. 正应力：垂直截面，$\sigma =\lim_{\bigtriangleup A \to 0} \frac{dF_A}{dA} $

2. 切（剪）应力：$\sigma =\lim_{\bigtriangleup A \to 0} \frac{dF_S}{dA} $

变形

• 线变形：长度变化
• 角变形：线段的夹角变化

应变：度量构件一点处的变形程度

1. $$ \epsilon _{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta x} $$

2. 切应变（角应变）：对应的是切应力

   • M点在xy平面内的切应变
   • $\gamma =\alpha +\beta $

变形的基本形式

1. 拉伸与压缩：受力（正应力）
2. 弯曲：受到弯矩
3. 扭转：受扭矩：作用线垂直于轴线。
4. 剪切：受到大小相等，方向相反，靠的很近的力

拉伸、压缩与剪切

轴向拉伸与压缩

轴力：截面上的内力，与杆件的轴线重合

• 拉为正，压为负（像弹簧一样，给对方拉力为正，给压力为负）
• 画图时，正值在上方，负值在下方

横截面上的内力与应力

• 假设：轴向拉伸后仍为平面

1. 纵向纤维，伸长量相等
2. 受力相等
3. 各点应力相等

其中的$F_N=F$为拉、压力

改公式假设横截面上的每一点的正应力相等，但是，当以集中力的方式作用时，正应力分布不均匀

所以引入圣维南定理：在距离外力区域较远的区域，集中力造成的影响可以忽略（离外力一个宽度的距离）

斜截面的应力

符号规定

• 其中的$\alpha$为斜面的法向量与x轴正方向的夹角（顺时针为正，逆时针为负）

• $$正应力\left\{\begin{matrix} 拉伸为正\\压缩为负\\\end{matrix}\right.$$
• $$切应力\left\{\begin{matrix} 顺时针为正\\逆时针为负\\\end{matrix}\right.$$

  此处的顺逆时针为切应力对内部的一点取矩

• 也可以通过图像来判断正负

拉伸时的力学性能

• 力学性能：在外力作用下材料在变形和破坏方面表现出的力学性能

拉伸低碳钢的应力-应变图

• oa:线弹性阶段：

$\sigma=E\varepsilon $

E为弹性模量（GPa）=$\tan\alpha$

$\sigma_P$：比例极限

• ob：非线弹性阶段：b为弹性阶段的最高点

$\sigma_e$：弹性极限

• bc：屈服阶段：失去抵抗变形的能力

$\sigma_s$：屈服极限：波动的最低点

• ce：强化阶段，恢复了抵抗变形的能力

• ef：局部变形阶段：出现颈缩现象，f之后断开

低碳钢的力学性能

试样拉断后，弹性变形消失，塑性变形保留，试样的长度由 $l_0$ 变为

$l_1$，横截面积原为 $A_0$，断口处的最小横截面积为 $A_1$。我们定义两个

$\delta>5$%为塑性材料，反之为脆性材料$

卸载定理及冷作硬化

• 材料在卸载过程中应力和应变是线性关系，这就是卸载定律。
• 材料的比例极限增高，延伸率降低，称之为冷作硬化或加工硬化。

对于没有明显屈服阶段的塑性材料，用名义屈服极限$\sigma_{p0.2}$来表示。在$\varepsilon =0.2%$的位置做弹性线的平行线，与原来曲线的交点的纵坐标。

脆性材料

$\sigma_{bt}$：拉伸强度极限（约为140MPa）。它是衡量脆性材（铸铁）拉伸的唯一强度指标。

压缩

塑性材料

1. 低碳钢压缩时的直线斜率和屈服极限$\sigma_s$与拉伸时相同。
2. 屈服阶段后，试件越压越扁，横截面面积不断增大，试件不可能被压断，因此得不到压缩时的强度极限。

脆性材料

1. 脆性材料的抗拉与抗压性质不完全相同；
2. 压缩时的强度极限远大于拉伸时的强度极限。
3. 铸铁压缩时破坏端面与横截面大致成45º到 55º倾角，表明这类试件主要因剪切而破坏。

失效、安全系数和强度计算

安全因数和许用应力

• $$ \sigma=\frac{F_N}{A} $$

• 两个强度指标$\sigma_s$和$\sigma_b$称作极限应力或危险应力，并用$\sigma_u$表示

• 许用应力：

工作应力必须小于等于许用应力

$n:安全因数$

$[\sigma]：许用应力$

• 塑性材料的许用应力：$[\sigma]=\frac{\sigma_s}{n_s}$
• 脆性材料的许用应力：$[\sigma]=\frac{\sigma_{bt}}{n_b}$

强度条件

• 杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力

• 应用：根据强度条件，可以解决三类强度计算问题

1. 强度校核：$\sigma_{max}=\frac{F_N}{A}\leqslant[\sigma]$
2. 设计截面：$A\geqslant\frac{F_N}{\sigma}$
3. 确定许可载荷：$F_N \leqslant A[\sigma]$

胡克定理

• 现代表述：实验表明，当杆内应力不超过材料的某一极限值（比例极限）时，有

• 推论：

弹性模量

EA称为杆的抗拉（抗压）刚度，比例常数E称为弹性模量（杨氏模量）

常用单位：MPa或GPa

橡胶的弹性模量：8 MPa；钢的弹性模量：210 GPa；钻石的弹性模量：1100 GPa

描述固体材料抵抗变形能力的物理量

E是一个形容刚度的物理量，学到现在的第一个

泊松比

纵向：$\varepsilon=\frac{\Delta l}{l}$

横向：$\varepsilon’=\frac{\Delta l}{l}$

钢材的μ约为0.25到0.33

• 对于传统材料：

  杆件拉伸，纵向线应变为正，而横向线应变为负；

  杆件压缩，纵向线应变为负，而横向线应变为正；

  纵向线应变和横向线应变的正负号通常恰好相反。

• 泊松比的范围在-1~0.5（存在负泊松比材料）

例题：

以切代弧：作垂线，交点即为最后的位置

轴向拉伸或压缩时的应变能

• 应变能（Vε）：固体在外力作用下，因变形而储存的能量 称应变能。

• 应变能密度：单位体积内储存的应变能

• 变形：

可以用应变能解决垂直位移的问题（功能关系）：

使用力求出应变能，再使用功=能解出

拉伸与压缩时的超静定问题

静定与超静定问题

静定问题：

杆件的轴力（或约束反力）可以用静力平衡条件求出，这种情况称作静定问题。

未知力（内力或外力）个数等于独立的平衡方程数

超静定问题

杆件的轴力（或约束反力）只凭静力平衡方程已不能解出全部未知力，这种情况称做超静定问题。 未知力个数多于独立的平衡方程数 超静定结构：结构的强度和刚度均得到提高

独立平衡方程数目：

平面任意力系：3个平衡方程

平面共点力系：2个平衡方程

变形协调：

基于胡克定理

步骤：

• 超静定度（次）数：

​ 约束反力多于独立平衡方程的数目

​ n=未知力的个数-独立平衡方程的数目

• 求解超静定问题的步骤：

  1. 确定超静定度数列静力平衡方程
  2. 根据变形协调条件列变形几何方程
  3. 将变形与力之间的关系（胡克定律）代入变形几何方程得补充方程；
  4. 联立补充方程与静力平衡方程求解。

温度应力和装配应力

温度应力：

​ 温度变化将引起物体的膨胀或收缩。静定结构可以自由变形，不会引起构件的内力，但在超静定结构中变形将受到部分或全部约束，温度变化时往往就要引起内力，与之相对应的应力称为热应力或温度应力。

$\Delta T -温度变化（升高）$

$\alpha_l-材料的线胀系数$

杆的变形分为两部分：

1. 杆件的温度变形：（伸长）

2. 杆端作用产生的缩短：

装配应力

应力集中

• 理论应力集中因数：

$\sigma$为平均应力，$\sigma_{max}$为最大的应力

1. 尺寸变化越急剧、角越尖、孔越小，应力集中的程度越严重。
2. 应力集中对塑性材料的影响不大；应力集中对脆性材料的影响严重，应特别注意

剪切与挤压的实用计算

剪切的实用计算

• 剪切受力特点：

  构件受两组大小相等、方向相反、作用线相互很近的平行力系作用。

• 变形特点：

  位于两力之间的截面发生相对错动。

钢板在受铆钉孔削弱的截面处，应力增大，易在连接处拉断。

1. 铆钉：$F_s=F$
2. 销轴连接：$F_s=\frac{F}{2}$

剪切面位m-m，平行于剪切力

公式

挤压的实用计算

• 螺栓与钢板相互接触的侧面上，发生的彼此间的局部承压现象，称为挤压。

• 在接触面上的压力，称为挤压力。

挤压面积的计算

1. 接触面位平面时，为实际接触面积
2. 接触面为圆柱面时，为直径投影面面积$A=dh$

公式

强度条件的应用

• 剪切与挤压的强度条件：

1. 校核强度

2. 设计截面

3. 求许可载荷：

4. 破坏条件：

复习总结：第八次课

扭转

扭转的概念与示例

1. 扭转的受力特点：杆件受到大小相等、方向相反且作用平面垂直于杆件轴线的力偶作用。

2. 扭转的变形特点：杆件的任意两个横截面都发生绕轴线的相对转动。

3. 受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。

外力偶矩的计算，扭矩和扭矩图

外力偶矩

1. $M_e=Fd$

2. $$ 已知：轴转速 n 转／ 分钟，输出功率 P 千 瓦。求：力偶矩 M_{\mathrm{e}} \\ 电机每秒输入功： W=P \times 1000 \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} \\ 外力偶作功完成： W=M_{e} \cdot 2 \pi \cdot \frac{n}{60} \\ M_{\mathrm{e}}=\frac{60000 P}{2 \pi n}=9549 \frac{P}{n} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{~m} $$

3. 方向：外力偶矩的方向：

   • 主动轮上的外力偶矩的方向与轴的转动方向相同；
   • 从动轮上的外力偶矩的方向与轴的转动方向相反；

扭矩和扭矩图

内力矩：

T：扭矩

M：弯矩

• 求内力的方法：截面法

• 符号规定：右手拇指指向外法线方向为正(+),反之为负(-)。（力偶矢指向离开截面的扭矩为正，反之为负）

简单例题：

纯剪切

薄壁圆筒扭转时的切应力

现象：

1. 圆周线的形状、大小及圆周线之间的距离没有改变；
2. 纵向线均倾斜了同一角度γ。

薄壁圆筒

等厚度的圆筒,平均半径为 $r_0$, 壁厚为$\delta$

满足的条件：$\delta ≤\frac{r_0}{10}$

切应力：

将一薄壁圆筒表面用纵向平行线和圆周线划分；两端施以大小相等方向相反一对力偶矩。

实验现象：

1. 圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变，只是绕轴线作了相对转动；
2. 各纵向线均倾斜了同一微小角度$\gamma$
3. 所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形。

结论：

1. 圆筒横截面上没有正应力，只有切应力
2. 沿圆周各点的切应力数值上相等，方向垂直于半径。

也就是说扭转时的应力只有切应力，且均匀分布

薄壁圆筒扭转时的切应力计算公式

切应力互等定理

具体描述：

在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等；两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。

• 纯剪切单元体：
  • 单元体平面上只有切应力而无正应力，则称为纯剪切单元体。

切应变、剪切胡克定律

• 在切应力的作用下，单元体的直角将发生微小的改变，这个改变量$\gamma$称为切应变。
  • 由如图的几何关系有$\gamma=\frac{r\varphi}{l}$(r为薄壁圆筒的外半径)

当切应力不超过材料的剪切比例极限时，切应变$\gamma$与切应力$\tau$成正比，这个关系称为剪切胡克定律。

• G：剪切弹性模量，又叫切变模量

$$ G=\frac{E}{2(1+\mu)} > $$

圆轴扭转时的应力

横截面上的应力

三个方面：

1. 几何关系
2. 物理关系
3. 静力关系

• 几何关系：

  • 各圆周线的形状、大小以及两圆周线间的距离没有变化，只是绕轴线转了一个微小角度；
  • 纵向平行线仍近似保持为直线且互相平行，但都倾斜了同一微小角度。

  平面假设：圆轴扭转变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线；且相邻两截面间的距离不变。

取dx的微端，有：

• 在外表面边缘上a点的切应变为： $$ \gamma=R\frac{d\varphi}{dx} > $$

• 距圆心为$\rho$处的切应变：

$$ \gamma_\rho=\rho\frac{d\varphi}{dx} > $$

• 物理关系：

  • $$ \tau_{\rho}=G \gamma_{\rho}=G \rho \frac{d \varphi}{d x} $$

  • 横截面上同一圆周上任意点的切应力τρ均相同，且与该点到圆心的距离ρ成正比。

• 静力关系：对力进行积分，积分成力矩

$$ \tau_{\rho}=\frac{T \rho}{I_{\mathrm{p}}} \\ T ：横截面上的扭矩； \quad \rho ：求应力的点到圆心的距离\\ \int_{A} \rho^{2} d A=I_{\mathrm{p}} > $$

$I_p$为横截面对圆心的极惯性矩。

• 最大切应力：

$W_t$称为抗扭截面系数，单位为mm3或m3。

极惯性矩和抗扭截面系数的计算

公式：(实心圆截面)

空心圆截面:

• 以上两个物理量非常重要,要记下来

扭转强度条件

对于等截面的圆轴来说,直接计算最大的扭矩即可

但是对于阶梯型的圆轴来说,由于抗扭截面系数不同,要将每一个的切应力计算出来,进行比较

• 同样将上述的公式进行变形,可以进行强度条件确定的应用

圆轴扭转时的变形

扭转变形

$\varphi$：扭转角；$GI_p$：抗扭刚度（出现的第二个刚度）

• 单位长度的扭转角：

  • $$ \varphi^`=\frac{T}{GI_p} $$

  • 单位为rad/m

• 公式的比较：

  • $$ \varphi=\frac{T l}{G I_{p}} \\ \Delta l=\frac{F_{N} l}{E A} $$

• 收到多个力偶矩时：分段计算出每一段的扭矩，每一段的极惯性矩，长度，计算后再相加

扭转刚度条件

• 是第一个对刚度有的要求

所以对于扭转来说，既有强度条件，又有刚度条件

• 扭转强度条件

• 扭转刚度条件

例题

可见，对于阶梯型对的圆轴，并且有多个力矩加上：

• 只要扭矩不同/面积（极惯性矩不同），就要分开计算
• 不同段还有几个不同的是长度l，一般以固定点（段的分割点为基点）向外扩展
• 同一方向的扭转角要相加

• 同样有着超静定问题
  • 此时的几何方程一般为角度之间的关系（扭转角相等）

非圆截面杆扭转的概念

圆截面杆扭转时的应力和变形公式，均建立在平面假设的基础上。 对于非圆截面杆，平面假设不成立。

对于非圆截面杆 ,受扭时横截面不再保持为平面，杆的横截面已由原来的平面变成了曲面，这一现象称为截面翘曲。

因此圆轴的应力、变形公式不在适用于圆截面杆

自由扭转或纯扭转

• 在扭转过程中，端面可以自由翘曲。此时任意两相邻横截面的翘曲程度完全相同，横截面只有切应力，而没有正应力。（也就是说两端不收压力）

约束扭转

• 扭转时，杆的端部受到支座的约束而不能自由翘曲。此时杆件任意两相邻横截面的翘曲程度不同，将在横截面上产生附加的正应力。
• 对于矩形和椭圆形的实体截面杆，由于约束扭转产生的附加正应力很小，一般可以忽略。但对于薄壁截面杆来说，这种附加的正应力是不能忽略的。

切应力分布：

• 矩形截面扭转时，横截面切应力如图所示，边缘上各点的切应力形成与边界相切的顺流。

• 整个横截面上的最大切应力发生在长边的中点。

• 短边中点的切应力$\tau_1$是短边上的最大切应力，且$\quad \tau_{1}=v \tau_{\max } $

虽然在量纲上相同，但是几何意义截然不同

当$h/b>10$有近似公式：$\alpha=\beta=1/3,v=0.743$

狭长矩形截面

• 狭长矩形截面上切应力的分布

  • 切应力在沿长边各点处的方向均与长边相切，其数值除在靠近顶点处以外均相等。

  • $$ I_{\mathrm{t}}=\frac{1}{3} h \delta^{3} \quad W_{\mathrm{t}}=\frac{1}{3} h \delta^{2} $$

弯曲内力

弯曲的概念和实例

• 特点：杆件受一对大小相等，方向相反的力偶，力偶作用 面是包含轴线的纵向面。

​ 以弯曲变形为主的杆件通常称为梁。

1. 受力特征：外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线。
2. 变形特征：变形前为直线的轴线，变形后成为曲线。

• 弯曲特点

• 平面弯曲：弯曲变形后的轴线为平面曲线，且该平面曲线仍与外力共面。

• 对称弯曲：纵向对称面：梁的轴线与横截面的对称轴所构成的平面。

  

  • 当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的平面曲线，称为对称弯曲。
  • 条件：
    • 梁要有对称面
    • 外力要作用在对称面内

受弯杆件的简化

1. 梁的简化：通常取梁的轴线来代替梁，折杆或曲杆用中心线代替

2. 载荷：集中力，集中力偶，分布载荷

3. 支座的类型与简化：

   1. 固定端：水平和竖直方向不能动，也不能转动。

      坐标以及角度均被约束，支座反力有两个力和一个力偶

   2. 固定铰支座：受两个力，可以旋转

   3. 可动铰支座/活动铰支座：竖直方向不能动，水平方向可自由伸缩，还可以自由转动。

      

   4. 1. 车削杆件的简化（固定端？）
      2. 火车轮轴的简化
      3. 吊车大梁的简化：均匀分布载荷（均布载荷）

注意，不同类型的支座，其未知的约束反力以及约束力偶的数目是不相同的，在求解支反力时要注意这一点

• 静定梁的基本形式：所有支座反力均可由平衡方程求出的梁，都叫静定梁

• 超静定梁：

次数为需要补充方程的次数

剪力和弯矩

1. 剪力$F_s$：构件受弯时，横截面上其作用线平行于横截面的内力合力。数值上等于截面任一侧外力的代数和。
2. 弯矩$M$​​：构件受弯时，横截面上其作用面垂直于横截面的内力系的合力偶矩。数值上等于截面任一侧外力对截面形心力矩的代数和。（有时还需要包括集中力偶）

• 剪力和弯矩都是内力！

符号规定

• 剪力：左上右下为正；反之为负。

解释：对于一个杆件，有左右两端，若剪力在左端，则剪力如果向上，为正值，如果向下为负值。

弯矩的正负：

上压下拉 (上凹下凸) 为正；反之为负。

直观的理解就是能使杆件像一个碗那样弯曲的力偶为正的

计算规律

剪力：

和之前拉压力的计算区别不大，截面之后做一个竖直方向的受力平衡即可

弯矩：

同样是使用截面法，不过力矩平衡分析时既要包括集中力偶，也要有力产生的力矩（对取得截面取矩）（此时就要注意不同的支座约束反力的不同，有些很可能既有力的作用，还有集中力偶的·作用）

基本的解题步骤：

1. 求支座反力（分析支座的类型，确定未知反力的个数），利用力的平衡和力矩的平衡（一个杆件会有三个方程）
2. 截面法求内力

• 对于非均布载荷的分析：
  • 对于此类载荷，可以使用等效分析：等效的力为载荷的面积，等效的作用点为载荷围成图形的形心的横坐标
  • 对于三角形分布的，$F=\frac{ql}{2}$，作用点在靠近q的$\frac{l}{3}$，可以使用积分计算形心的位置
  • 对于梯形分布的载荷，可以将其分解为矩形的和三角形的叠加，分别计算

剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图

剪力方程和弯矩方程

用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程。

1. 剪力方程：$F_s=F_s(x)$
2. 弯矩方程：$M=M(x)$

剪力图和弯矩图

​ 以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标表示相应截面上的剪力和弯矩，这种图线分别称为剪力图和弯矩图。(正值在x上方，负值在x轴下方)

同样的步骤：

1. 求支反力
2. 列出在x位置的剪力方程和弯矩方程

• 注意：集中力或者是集中力偶的作用会使剪力或弯矩发生突变，此时需要分段进行讨论
• 有多少垂直的外力（集中力）就会多几个剪力方程（初始为1）
• 有多少集中力偶，就会多几个弯矩方程（以作用点分割）

小结

1、取梁的左端点为座标原点，x轴向右为正；剪力图向上为正；弯 矩图向上为正。

2、以集中力、集中力偶作用处、分布载荷开始或结束处，及支座截 面处为界点将梁分段。分段写出剪力方程和弯矩方程，然后绘出 剪力图和弯矩图。

3、梁上集中力作用处左、右两侧横截面上，剪（图）有突变，其突 变值等于集中力的数值。在此处弯矩图则形成一个尖角。

4、梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值（图）也有突 变，其突变值等于集中力偶矩的数值。但在此处剪力图没有变化。

5、梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处；梁上的最大 弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面，或Fs = 0的截面处.

平面钢架的内力

平面刚架是由在同一平面内，不同取向的杆件，通过杆端相互刚性连结而组成的结构。

有剪力、弯矩、轴力的内力

• 符号规定：
  • 弯矩图：画在各杆的受压（凹入）侧，不注明正、负号。
  • 剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），注明正、负号。

载荷集度、剪力和弯矩间的关系

几何意义：

1. 剪力图上某点处的切线斜率等于该点处载荷集度的大小；
2. 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。

有：

• 梁上有向下的均布载荷，即q(x) < 0
• 梁上无载荷区域，即q(x) = 0
• 梁上有向上的均布载荷，即q(x) > 0
• 梁上最大弯矩$M_{max}$可能发生在$F_s(x)$=0的截面上、或发生在集中力所在的截面上、或集中力偶作用处；最大剪力可能发生在集中力所在的截面上、或分布载荷发生变化的区段上。
• 在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中力的值。弯矩图有转折。
• 在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化。

可以通过积分的方式确定剪力、弯矩的大小

控制面：

在集中力和集中力偶作用处的两侧截面、均布载荷两侧截面、以及支座反力内侧截面均为控制面

• 叠加法做内力图

  • 叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。

  • 使用条件：所求参数（内力，应力、位移·）必须与载荷满足线性关系，满足胡克定理

平面曲杆的弯曲内力

1. 轴线为一平面曲线的杆件。当外力与平面曲杆均在同一平面内时，曲杆的内力有轴力、剪力和弯矩。

2. 方向：

   轴力 ：引起拉伸的轴力为正； 弯矩：使曲杆的曲率增加（即外侧受拉）的弯矩为正。 剪力：对所考虑的一端曲杆内一点取矩，产生顺时针转动趋 势的剪力为正

平面图形的几何性质

静矩和形心

静矩（面积矩的定义）

静矩是对某一坐标轴定义的，与坐标轴有关，与截面尺寸、形状、轴的位置有关

形心

其他坐标位置的重心表达式相同

• 均质物体的重心是几何中心。在平面图形中，称为形心。

截面对通过形心轴的静矩等于零；如截面对轴的静矩等于零，该轴一定通过形心。

1. 三角形的形心，$y_c=\frac{h}{3}$
2. 半圆的形心：$y_c=\frac{4r}{3\pi}$

• 步骤：
  • 将组合截面分解成简单的图形
  • 计算简单图形对轴的静矩
  • 代数和相加即为组合截面对轴的静矩
  • 计算截面形心
  • 
  • 形心和静距的角标是不一样的，主要是因为绕着Z轴的静距是对于y积分

惯性矩

对y轴的惯性半径

惯性矩的性质

• 惯性矩和惯性积是对一定轴而定义的，而极惯性矩，是对点定义的。
• 任何平面图形对于通过其形心的对称轴和与此对称轴垂直的轴的惯性积为零。
• 对于面积相等的截面，截面相对于坐标轴分布的越远，其惯性矩越大。

做作业的感受：

很多的作业呀，基本上问题不是很大，主要是二重积分的问题，本质上是将，面积的微分表示成所需的长度或者角度的微分，进行积分运算。可以先将关系表示出来，同时取微分进行计算。

还有就是图的画法，要注意方向，注意我们使用截面法计算的时候，计算的是其的平衡力，所以最后的方向应该反过来，一般从左往右的话是计算右截面的反力

转轴定理：

​ 所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。

• 当坐标轴逆时针旋转$\alpha$角度时，新的惯性矩和惯性积

有——图形对一对垂直轴的惯性矩之和与转轴时的角度无关，即在轴转动时，其和保持不变。（惯性矩的和保持不变，用极坐标积分更好理解）

所以引入了主惯性矩的概念

当两个惯性矩取得极值时为主惯性矩（一个最大，一个最小）

此时的惯性积为0

形心主轴，主矩

1. 主惯性轴、主惯性矩

   对于任何形状的截面，总可以找到一对特殊的直角坐标，使截面对于这一对坐标轴的惯性积等于零。惯性积等于零的一对坐标轴就称为该截面的主惯性轴，而截面对于主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩。

2. 形心主轴、形心主矩

   当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时，他们就被称为该截面的形心主惯性轴，简称形心主轴。而截面对于形心主惯性轴的惯性矩就称为形心主惯性矩，简称形心主矩。

3. 确定形心主轴的位置

   1. 平面图形有一条对称轴，则此轴必定是形心主惯性轴，而另一条形心主惯性轴通过形心，并与此轴垂直。
   2. 如果平面图形有两条对称轴，则此两轴都为形心主惯性轴。
   3. 如果平面图形具有三条或更多条对称轴，那么通过证明后可以知道：过该图形形心的任何轴都是形心主惯性轴，而且该平面图形对于其任一形心惯性轴的惯性矩都相等。

4. 常见的形心主轴

​ 矩形：（其中的三次方的垂直于轴的边长）

​ 圆形：

平行移轴定理

其中的$I_{yc}$必须是对于通过形心的y轴的惯性矩

两平行轴中，必须有一轴为形心轴，截面对任意两平行轴的惯性矩间的关系，应通过平行的形心轴惯性矩来换算。

弯曲应力

纯弯曲

之前拉伸与扭转时的内力与应力都有，但是弯曲还没有相应的应力的计算公式，有切应力与正应力，之后主要学习如何计算这两个应力

当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有弯矩M，又有剪力$F_s$。

其中，剪力对应的是切应力，弯矩对应的是正应力

当内力中只存在弯矩时，为纯弯曲

纯弯曲时的正应力

在纯弯曲的情况下，求正应力：

• 几何关系

  • 纵向线成弧线（顶端缩短，底端伸长）
  • 横向线仍为直线，但是相对转过一个角度
  1. 平面假设：
  2. 单向受力假设：纵向纤维不相互挤压，只受单向拉压。
  3. 中性层与中性轴：
     1. 必有一层变形前后长度不变的纤维：中性层
     2. 中性层与横截面的交线：中性轴

  由几何关系可以得出纵向线的应变为（伸长或者是缩短量）$\varepsilon=\frac{y}{\rho}$(其中y为距离中性层的距离，$\rho$为弯曲的等效半径)

• 物理关系

  • 由胡可定理可得应力的大小为 $$ > \sigma=E\frac{y}{\rho} > $$

• 静力关系：

  • 对于纯弯曲来说：拉压力和为0，沿着y轴的力矩和为0（因为不会沿着y轴弯曲，外力矩的方向是沿着z轴的），沿着z轴的力矩和为M
  • 由上述得到的正应力的公式可以得到的性质是：
    1. 中性轴过截面的形心
    2. 为形心主轴
    3. $\frac{1}{\rho}=\frac{M}{EI_z}$

其中：

ρ为曲率半径

1/ρ为梁弯曲后的曲率

M为梁横截面上的弯矩 y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离 $I_z$为梁横截面对中性轴的惯性矩（实际上也是形心主矩）

• 与到中性轴的距离成正比
• 中性轴上的正应力为0

符号判断：

梁变形后的凸出的边为拉应力（正），凹入的边为压应力（为负号）

• 弯曲截面系数： $$ W_z=\frac{I_z}{y_{max}} $$

常见截面的惯性矩以及弯曲截面系数

一般使用的是圆截面：

• 当有剪力存在时，平面假设以及单向受力假设都不成立

• 当跨度l与横截面高度h之比l/h>5（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。

同样要进行强度校核：

要注意对于铸铁等脆性的材料，拉压应力的极限不同，应该分别校核（且梁横截面的中性轴也不一定是对称轴）

横力弯曲时的正应力

横力弯曲

• 当梁上有横向力作用时，横截面上既又弯矩又有剪力，梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲。

• 当跨度l与横截面高度h之比**l/h>5（细长梁）**时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。

公式的适用范围：

1. 细长直梁的纯弯曲或横力弯曲
2. 在弹性范围内
3. 平面弯曲（横截面惯性积=0）

弯曲的切应力

矩形截面梁的切应力

• 公式： $$ \tau=\frac{F_sS_z^*}{I_zb} $$

解释：

$I_z$：整个截面对于中性轴的惯性矩

$b$：切应力所在的截面的宽度

$S^*_z$：距中性轴为y的横线以外的部分横截面面积对中性轴的静距

• $$ \begin{gathered} S_{z}^{*}=\int_{A^{*}}y_{1}\mathrm{d}A \\ =\int_y^{h/2}y_1b\mathrm{d}y_1=\frac{b}{2}(\frac{h^2}{4}-y^2) \\ \tau=\frac{F_{S}S_{z}^{*}}{I_{z}b}=\frac{F_{S}}{2I_{z}}(\frac{h^{2}}{4}-y^{2}) \end{gathered} $$
• $$ \tau=\frac{3F_s}{2A} $$

y为距离中性轴的距离

圆截面梁的切应力

在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切。

1. 沿着宽度上各点的切应力均汇交于o`点
2. 沿着y方向的分量沿宽度相等

公式是一样的，但是静距的表达式不一样

为下面绿色区域的静距：

$S_z^*=\frac{2R^3}{3}sin^3\alpha$

• 最大的切应力为

• $\tau=\frac{4F_s}{3A}$

• A为圆截面的面积

正应力与切应力的比较

• $$ \frac{\sigma_{max}}{\tau_{max}}=6\frac{l}{d} $$
• $$ \frac{\sigma_{max}}{\tau_{max}}=4\frac{l}{h} $$

l为梁的跨度

d为直径

h为高

工字形的切应力

1. 腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化；
2. 最大切应力也在中性轴上。

• 在翼缘上，平行于Fs的切应力分量，分布情况较复杂，但数值很小，可忽略不计。
• 在翼缘上，垂直于Fs方向的切应力分量，它与腹板上的切应力比较，一般来说也是次要的。
• 腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了截面上的大部分弯矩。

同样需要校核强度条件

提高弯曲强度的措施

使得最大力矩尽量小，使得弯曲截面系数尽量大

力矩

合理安排支座：

使得梁尽量外伸

弯曲截面系数

• 合理放置截面：矩形时，竖着放（长边为竖着的）

• 根据材料特性：

  • 对于塑性的材料，选中性轴为对称轴的
  • 对于脆性的材料，T字形的不对称截面，将翼缘置于受拉侧，满足以下的关系：

• 采用等强度梁：使得各处的应力相等

弯曲变形

弯曲变形问题

• 挠度

形心在垂直于x方向上的位移：，也就是垂直的位移使用w表示

• 转角：

  横截面对其原来位置的角位移，称为该截面的转角，用$\theta$表示。

• 挠曲线与挠曲线方程：

挠曲线的微分方程

称为梁的挠曲线近似微分方程

积分法求弯曲变形

$EI_z$：抗弯刚度

• 积分可以得到转角方程，再积分一次可以得到挠度方程

会引入两个积分常数

确定：

• 位移边界条件：
  • 在简支梁中, 左右两铰支座处的挠度wA和wB都等于0。
  • 在悬臂梁中, 固定端处的挠度wA和转角θA都等于0。
• 光滑连续条件：
  • 对称点上转角=0
  • 光滑的曲线，在挠曲线的任意点上，有唯一确定的挠度和转角

叠加原理求弯曲变形

当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。

挠度和转角都是可以叠加的

各个载荷引起的变形是相互独立，互不影响的

• 拆分成195页的表格的样子即可

简单超静定梁

超静定梁是支反力的数目大于有效平衡方程数目的梁

• 多余约束：从维持平衡的角度而言多余的约束
• 超静定次数：多余约束或多余支反力的数目
• 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统

解题步骤

1. 解除多余约束，建立相当系统（进行超静定次数的判断）
2. 列几何方程：变形协调方程
3. 列物理方程：变形与力的关系
4. 列补充方程：将力与变形的关系带入变形几何方程
5. 使用静力平衡求解其他的支反力

提高弯曲刚度的一些措施

小于许用的挠度

提高梁的刚度

增大梁的抗弯刚度EI

1. 增大E

选取弹性模量较高的材料，提高梁的刚度，但是对于各种钢槽，E的数值差距不大，所以，选取高强度的钢材不能提高梁的刚度

2. 增大I

工程中采用工字型，框形截面

改善结构形式，减少弯矩数值

采用外伸的形式

采用超静定结构

总结

强度问题

1. 计算外力
2. 计算内力，做内力图
3. 求危险点的位置及其应力（现成公式）
4. 强度校核与设计（简单不等式）

刚度问题

1. 积分法
2. 叠加法
3. 能量法

超静定问题

1. 解除多余约束
2. 增加变形几何方程
3. 求解变形几何方程
4. 利用静力学平衡方程计算出其他外力

但是对于组合变形，强度的求解步骤就变成

1. 计算外力
2. 计算内力，做内力图
3. 求危险点的位置，及其在横截面方向的应力
4. 求危险点及其在各个方位的应力，确定主应力
5. 做强度的校核

应力和应变分析，强度理论

应力状态、

实际的工程问题：

一点处既有正应力又有切应力

直杆拉伸应力分析结果表明：即使同一点不同方向面上的应力也是各不相同的，此即应力的面的概念。

• 不仅横截面上存在应力，斜截面上也存在应力；
• 同一面上不同点的应力各不相同；
• 同一点不同方向面上的应力也是各不相同。

应力状态

过一点不同方向面上应力的情况，称之为这一点的应力状态，亦指该点的应力全貌。

找出最危险的点和截面

研究方法

单元体

• 单元体的尺寸无限小，每个面上应力分布均匀
• 任意一对平行平面上的应力相等

对一个点来说，单元体可以有着不同的取向，所以存在一个单元体，使得每个面上的切应力为0

• 主平面：切应力为0
• 主应力：主平面上的正应力
• 主应力单元体：各侧面上切应力均为0的单元体

任意一点处必定存在这样的一个主应力单元体， 其中三个相互垂直的面均为主平面，三个相互垂直的主应力为$\sigma_1、\sigma_2、\sigma_3$且规定按代数值的大小来排序（包括符号）

符号规定：

• 正应力：拉为正，压为负
• 切应力：使微元顺时针转动为正、反之为负
• $\alpha$：逆时针为正，反之为负

应力状态的分类：

1. 单向：三个主应力中只有一个不为零（正应力）
2. 平面：三个主应力中有两个不为零（实际上就是平面上受力）
3. 空间：三个主应力都不等于零

这是只有正应力的情况，还有只有切应力的情况（但是由切应力互等定理，会有四个面有切应力）：

• 所以我们可以得到一个比较完整的分类：

二向和三向的应力状态

求解的方法：

1. 对物体进行受力，分析其有哪几部分的变形（拉压，扭转，弯曲）
2. 按之前的，计算物体的应力（正应力，切应力）
3. 注意弯曲中，正应力距离中性轴越远越大，切应力距离中性轴越近越大

二向应力状态分析——解析法

• 二向应力为在x,y方向上有正应力与切应力

取斜截面，通过受力分析有，

1. 两相互垂直的截面上的正应力之和为常数
2. 两相互垂直的截面上的切应力之和为0

斜截面的最大正应力与方位

判断$\alpha$是原来的$\sigma_x$与哪一个主应力的夹角，如下：

约定$\alpha_0$<45º，即$\alpha_0$取值在±45º范围内，确定主应力方向的 具体规则如下：

• 当$\sigma_x$>$\sigma_y$时，$\alpha_0$是$\sigma_x$与$\sigma_{max}$之间的夹角；

• 当$\sigma_x$<$\sigma_y$时，$\alpha_0$是$\sigma_x$与$\sigma_{min}$之间的夹角；

• 当$\sigma_x$=$\sigma_y$时，$\alpha_0$​=45°，主应力的方向可由单元体上切应力情况直观判断出来

  

斜截面的最大切应力及方位

正应力最大时，切应力为0

两个角度之间的关系：

$\alpha_1=\alpha_0+\frac{\pi}{4}$

1. 比较应力的大小时，是带着符号的
2. 求出来的应力大小也是带着符号的
3. 最后要求主应力的话，有三个主应力，从大到小

二向应力状态分析——图解法

应力圆（莫尔圆）

在$\sigma-\tau$图像中是一个圆的轨迹

画法

1. 建立坐标系，选定比例尺
2. 量取$OA=\sigma_x,AD=\tau_{xy}$，为D点
3. 同样，量取垂直面上的正应力和切应力，再次确定一个点D’
4. 连接 DD′两点的直线与$\sigma$轴相交于C点。
5. 以C为圆心，CD 为半径作圆，即得该单元体的应力圆

应用

• 对应关系

  • 点面之间的对应关系：单元体某一面上的应力，必对应于应力圆上某一点的坐标。
  • 夹角关系：圆周上任意两点所引半径的夹角等于单元体上应 两截面夹角的两倍。两者的转向一致

• 求单元体上任一截面上的应力

  • 找到基准的面（左右侧面）对应的线（基准）
  • 顺时针$\alpha$角的面对应的线就是基准线在图上旋转$2\alpha$
  • 正应力与压应力从图上读取即可

• 求主应力数值和主平面位置
  • 与横轴的交线就是主应力对应的坐标
  • 位置为绕着原来的面旋转$\alpha_0$
• 求最大切应力
  • 过c点作垂线，交点两点的纵坐标分别代表最大和最小切应力

小结：

• 解析法：
  • 一般公式2个（正、切应力），
  • 极值应力4个（极大与极小正应力，极大与极小切应力）
  • 主单元体方位角1个
  • 缺点：公式不好记 —— 7个
• 图解法
  • 前半步 —— 画应力圆
  • 后半步 —— 看图精确计算

三向应力状态

定义：三向应力状态：三个主应力都不为零的应力状态

最大正应力与切应力

1. 求出物体某一点内的三个主应力（类似双向的应力，取两个面画就可以了）
2. 将求出的主应力画在图上，以两个一组画圆，画出三个圆
3. 大圆与两个小圆之间的阴影部分就是该点不同方向能取到的应力
4. 
5. 

由图，$\sigma_{max}=\sigma_1$

最大的切应力为半径

公式总结

1. 任意斜截面的应力

2. 最大正应力的方位

3. 最大正应力

4. 最大切应力的方位

5. 最大切应力

广义胡克定律

$$ > \begin{gathered} > \mathcal{E}_{1}=\frac{1}{E}\left[\sigma_1-\mu\left(\sigma_2+\sigma_3\right)\right] \\ > \mathcal{E}_2=\frac{1}{E}[\sigma_2-\mu(\sigma_3+\sigma_1)] \\ > \mathcal{E}_{3}=\frac{1}{E}[\sigma_3-\mu(\sigma_1+\sigma_2)] > \end{gathered} > $$

这是主应力对应的主应变

复杂应力状态的应变能密度

单向的应变能密度：$\frac{1}{2}\sigma\epsilon$

$$ > \nu_\varepsilon=\frac{1}{2E}[\sigma_1^2+\sigma_2^2+\sigma_3^2-2\mu(\sigma_1\sigma_2+\sigma_2\sigma_3+\sigma_1\sigma_3)] > $$

可见，只与三个主应力的和有关，设等值的应力为三个主应力的均值

构造这种等值应力的单元体：

则与原来的单元体的体积应变相同

且这个单元体的主应变相等，在等值应力的作用下，单元体的形状不发生改变

畸变能密度

• 用$\nu_{V}$表示与单元体体积改变相应的那部分应变能密度，称为体积改变能密度
• 用$\nu_{d}$表示与单元体形状改变相应的那部分应变能密度，称为形状改变能密度，又称为畸变能密度。

$$ > \nu_\mathrm{d}=\nu_\varepsilon-\nu_\mathrm{V}=\frac{1+\mu}{6E}[(\sigma_1-\sigma_2)^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2+(\sigma_1-\sigma_3)^2] > $$

得到畸变能密度

强度理论的概述

概念

强度理论是关于“构件发生强度失效的起因”的假说

破坏的两种类型

断裂与屈服

• 断裂破坏

  • 脆性断裂：无明显的变形下突然断裂——脆性材料的失效
  • 韧性断裂：产生大量塑性变形后的断裂

• 屈服破坏：塑性材料的失效

  材料出现显著的塑性变形而丧失其正常的工作能力

1. 铸铁属于正应力破坏
2. 低碳钢属于切应力破坏

失效准则

材料发生脆断或塑性破坏的具体原因或共同因素：

最大正应力

最大切应力

最大伸长线应变

最大畸变能密度

四种强度理论

• 第一类强度理论：以脆断作为破坏的标志。 包括：最大拉应力理论和最大伸长线应变理论。
• 第二类强度理论：以屈服作为破坏的标志。 包括：最大切应力理论和最大畸变能密度理论

最大拉应力（第一强度）

最大拉应力为引起材料脆断的因素

无论材料处于什么应力状态，只要微元内的最大拉应力$\sigma_1$达到了单向拉伸的强度极限$\sigma_b$，就会发生断裂破坏。

此理论对于大部分脆性材料受拉应力作用

只需要校核最大拉应力

局限性： ➢ 未考虑另外二个主应力影响

➢ 对没有拉应力的应力状态无法应用

➢ 对塑性材料的破坏无法解释

最大伸长线应变（第二）

• 根据：当作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿垂直于最大拉应变方向的平面发生破坏。
• 最大拉应变：$\epsilon_1=\frac{1}{E}[\sigma_1-\mu(\sigma_2+\sigma_3)]$
• 条件：构件内有一处的最大拉应力达到了单向拉伸的极限，就会发生破坏

第二强度理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况

最大切应力理论（第三强度理论）

• 根据：作用在构件上的外力过大时，其危险点处的材料就会沿最大切应力所在截面滑移而发生屈服失效
• 失效准则：最大切应力
• 基本假说：最大切应力$\tau_{max}$是引起材料屈服的因素。 失效准则：最大切应力$\tau_{max}$ 强度条件：$\sigma _1- \sigma _3\leq [ \sigma ]$

局限性：

未考虑$\sigma_2$的影响

不能解释三向均拉的条件下断裂的现象

最大畸变能密度理论

相当应力

将各个强度理论的强度条件写成同一的形式

$\sigma_r$为复杂应力状态下的相当应力

下面的式子为强度条件（需要小于许用应力）：

适用范围

(1) 脆性材料选用第一或第二强度理论；

(2) 塑性材料选用第三或第四强度理论；

(3) 在二向和三向等拉应力时，无论是塑性还是脆性都发生脆性破坏，故选用第一或第二强度理论；

(4) 在二向和三向等压应力时，无论是塑性还是脆性材料都发生塑性破坏，故选用第三或第四强度理论。

强度计算的步骤

1. 外力分析
2. 内力分析
3. 应力分析
4. 强度分析

莫尔强度理论

任意一点的应力圆若与由极限应力确定的包络线相接触，则材料即将屈服或断裂。

组合变形

组合变形和叠加原理

构件在载荷作用下发生两种或两种以上的基本变形, 则构件的变形称为组合变形。

处理组合变形的基本方法：叠加法

1. 外力分析

   将外力简化并沿主惯性轴分解，将组合变形分解为基本变形，使之每个力（或力偶）对应一种基本变形。

2. 内力分析

   求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险截面。分别计算每一种基本变形下构件的应力和变形。

3. 应力分析

   画出危险截面的应力分布图，利用叠加原理将基本变形下的应力和变形叠加，建立危险点的强度条件。

拉压与弯曲的组合

受力既有轴向的拉压力，还有横向力

受力分析

则，将两个正应力相加即可（注意正负）

对于弯曲刚度EI较小的杆，在压缩与弯曲组合变形下，轴向压力引起的附加弯矩较大，且附加弯矩的转向与横向力引起的弯矩同向，此时叠加原理将不再适用。

注意：对非规则的物体取矩，一般是对中性面（形心）取矩

扭转和弯曲的组合

同时受到转矩和横向力的作用

受到弯矩M和扭矩T

1. 对于一般的塑性材料截面危险点的校核公式

$$ > \begin{aligned} > & \sigma_{r3}=\sigma_1-\sigma_3=\sqrt{\sigma^2+4\tau^2} \\ > & \sigma_{r4}=\sqrt{\sigma^2+3\tau^2} > \end{aligned} > $$

2. 对于截面是实心圆截面或者空心圆截面的塑性材料的弯扭

$$ > \sigma_{r3}=\frac{1}{W}\sqrt{M^2+T^2}\leq[\sigma]\\\sigma_{r4}=\frac{1}{W}\sqrt{M^2+0.75T^2}\leq[\sigma] > $$

弯拉扭的组合

发生三种基本变形

步骤：

1. 外力分析（将外力想形心简化）
2. 做出内力图像，确定危险截面
3. 确定危险点及其应力状态，计算主应力
4. 带进公式进行校核（选择正确的强度理论）

上述的公式适用于组合变形（弯+扭）

其中的切应力方向可以不用考虑

压杆稳定

概念

欧拉临界压力和欧拉公式

两端绞支细长压杆的临界压力

两端铰支：两端的转角不为0

力的表达式的通解为：

其中的A,B为积分常数

使用边界条件，得：

这就是两端铰支等截面细长受压直杆临界力计算公式

$设压杆中点的挠度为\delta，则A=\delta$

使用条件：

• 理想压杆（轴线为直线，压力与轴线重合，材料均匀）
• 线弹性，小变形
• 两端为铰支座

上述都是n=1的情况，在n=其他整数的条件上

其他支座条件下细长压杆的临界压力

其中的

$\mu$为长度系数（无量纲）

$\mu l$相当长度（相当于两端铰支杆的长度）

形式	两端铰支	一端固定 一端自由	两端固定	一端铰支 一端固定
图示
系数	1	2	3	0.7
公式	$F_{cr}=\frac{\pi^{2} E I}{l^{2}}$	$F_{cr}=\frac{\pi^{2} E I}{(2l)^{2}}$	$F_{cr}=\frac{\pi^{2} E I}{(0.5l)^{2}}$	$F_{cr}=\frac{\pi^{2} E I}{(0.7l)^{2}}$

相当长度的物理意义

• 压杆失稳时，挠曲线上两拐点间的长度就是压杆的相当长度
• 是各种支承条件下，细长压杆失稳时，挠曲线中相当于半波正弦曲线的一段长度

对于某一主惯性轴的临界压力

计算临界的压力时，有如下的两种情况

1. 若杆端在各个方向的约束情况相同（如球形铰等，则I应取最小的形心主惯性矩。（也就是只是上述4种情况的1种）
2. 若杆端在各个方向的约束情况不同（如柱形铰），应分别计算杆在不同方向失稳时的临界压力。

思路：

• 在两个方向的约束情况不同
• 分别计算两个临界压力，取小的为压杆的临界压力

欧拉公式的适用范围 经验公式

临界压力

欧拉公式只有在弹性范围内才是适用的。这就要求在临界载荷作用下，压杆在直线平衡构形时，其横截面上的正应力小于或等于材料的比例极限

长细比

定义$\lambda$为长细比，是综合反映压杆长度、约束条件、截面尺寸和截面形状对压杆临界载荷影响的量，由下式确定：

$\lambda_p$为能够应用欧拉公式的压杆柔度界限值

3. $$ \begin{array}{l} \text { 小柔度杆：} \lambda \leq \lambda_{0}\\ \sigma_{\mathrm{cr}}=\sigma_{s} \end{array} $$

这就是不同的柔性状态下的，压时的临界应力

其中的$\sigma_{cr}$为杆件承受的最大的正应力

$\lambda$受到杆件的支撑情况，形状、长度的影响，与材料无关

但是$\lambda_0$,$\lambda_p$只与材料的力学性质有关

对于同一材料，$\lambda$越小，所承受的应力越大

长细比的公式

其中的i为$i_y=\sqrt{\frac{I_y}{A}}$

在计算的过程中，先将较大的$\lambda$计算出来，使用较大的$\lambda$计算临界的应力

压杆稳定的校核

这里的$\sigma_{cr}$是会变化的（应力总图中的变化），能承受的极限应力会随着压杆的柔度发生变化的。

柔度越大，极限应力越低，所以在计算的时候也要选择柔度最大的方向进行计算！

1. 计算最大的柔度系数
2. 根据最大的柔度系数，选择合适的公式计算临界的应力
3. 根据稳定性的条件，判断压杆稳定

可以使用这种变形来判断（计算出来实际的压力，除理论的压力，将得到的系数比较）

提高压杆的稳定性

措施：

使用欧拉公式时的计算

能量方法

概述

使用$U=W$计算，在材料力学中，将$U写作V_{\epsilon}$

解决位移，变形的问题（线位移，角位移）（梁的挠曲线方程）

所以解决的主要是刚度问题

对于弹性体，由于变形的可逆性，外力在相应位移上所作的功，在数值上等于积蓄在物体内的应变能。

就是使用有限元的方法解决固体力学的问题

应变能

上述为应变能密度，之前有提到过

应变能密度=体积应变能密度+形状改变能密度

几种能量的方法

应变能原理：卡氏第一定理

余能原理：卡氏第二定理

虚功原理及单位载荷法

杆件的应变能计算

轴向的应变能

从左到右分别为力，工、变形的表达式

应变能=功

扭转的应变能

弯曲的应变能

组合变形

独立计算，再相加即可

1. 轴力、扭矩和弯矩各自的变形垂直，相互不做功
2. 应变能与加载次序无关，应变能相互叠加

上述忽略了剪力的影响

在我的理解中，应变能密度中的计算公式中带入的是杆件的内力，长度是每一段的内力对应的长度

应变能的普遍表达式

前面的应变能是使用内力（力矩）计算出来的

F：广义力，包括力和力偶(实际上是外力)

$\delta ：$广义位移，包括线位移和角位移

角标相同的为对应的力位移（如图：）

使用

简单的计算应变能，一般只收到一个力的作用

求受到的力

不过一般功能原理是用来求位移的，复杂位移不能这么求

互等定理

应变能Vε只与外力的最终值有关，而与加载过程和加载次序无关

第一组力在第二组力引起的位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所作的功。

卡式定理

弹性杆件的应变能对于杆件上某一位移的变化率，等于该位移相应的载荷（外力）

这里有一个关键的问题：什么是位移对应的载荷

• 当位移是长度时，对应的载荷就是位移的这点上所受的力的大小
• 当位移为角度时，对应的载荷就是这点上所受力矩的大小

等式的左边是力，所以卡氏第一定理用来求力更加方便

余能

是一个能量参数，在之前的应变能的基础上推出来的：

余能定理

• 弹性杆件的余能对于杆件上某一载荷的变化率，等于该载荷相应的位移
• 余能定理适用于一切受力状态下的线弹性杆件与非线弹性弹性杆件

但是余能，余功没有实际的物理概念，所以对于线弹性的材料，余能和应变能在数值上相等

卡式第二定理

上述为公式

只适用于线弹性的情况

为卡式第二定理的表达式

4. 桁架 $$ \Delta_i=\frac{\partial V_\varepsilon}{\partial F_i}=\sum_{j=1}^n\frac{F_{Nj}l_j}{EA}\frac{\partial F_{Nj}}{\partial F_i} $$

做题的步骤：

1. 确保每一个需要求的位移都有其对应的载荷，一般不能使用支反力，若是没有的话就加上虚拟的力（力矩），虚拟的力（力矩）在求偏导之后就要带入0
2. 求出加上虚拟力之后的支反力
3. 分段求出杆件的应变能，将应变能对于对应载荷力进行求导，在将虚拟力带入应变能
4. 带入公式进行计算

虚功原理

在约束允许的范围内，可以实现的微小的位移

本质：能量最小原理

作用在杆件上的力可以分为内力和外力两种

• 外力：外载荷和支座反力
• 内力：截面各部分间的相互作用力

上述为虚功原理的表达式，也就是所有的力与位移乘积的积分：

单位载荷法

表达式：

将虚设的单位力作为载荷，将实际的载荷引起的位移当做虚位移

• 对于线弹性的杆件，我们可以得到最后的单位载荷法的公式：

说明：

1. 计算的结果为正，说明位移与单位载荷指向一致，反之则相反
2. 公式右端的各项内力的正负号规定同前
3. 处理桁架问题时，右边仅剩轴力这一项

莫尔积分

这就是上面的单位载荷法的每一项

该式中Δ应看成广义位移，把单位载荷看成与广义位移相对应的广义力。

对式子中各个项的解释

1. $M(x)$：结构在原载荷下的内力
2. $\overline M(x)$​：去掉主动力，在所求广义位移点，沿所求广义位移的方向加广义单位力时，结构产生的内力
3. 整个摩尔积分必须布满整个结构（也就是必须对整个结构进行能量分析）
4. 同一段内力的积分的坐标系必须相同

现在在分析的过程中，由于积分的方向有左到右、右到左，上到下，下到上等等，弯矩的正负很难确定

正负方向的判断

发现，横向的杆件的弯矩可以进行正负的规定，但是其他方向的弯矩不能严格规定。由于单位载荷法是两项相乘，所以可以根据两者绝对的正负决定。而卡式第二定理为平方，正负就更加不影响了。

所以，只要知道相对的正负即可

**解题步骤：**万物归一

1. 将原载荷下的内力求出来
2. 在相同的坐标系下，只加所求位移对应的载荷，去掉原载荷，求出内力
3. 带入公式中进行计算（相对位移时使用一对力）

功能原理中，针对的做的功都是外力中的载荷

超静定结构

超静定结构的概述

**静定问题：**杆件的轴力（约束反力）可以用静力平衡条件求出,这种情况称作静定问题（未知力的个数等于独立平衡方程的数目）

超静定问题：未知力个数多于独立的平衡方程数

独立平衡方程的个数：

• 平面任意力系：3
• 平面共点力系：2

分类：

1. 仅在结构外部存在多余约束，即支反力是超静定的，可称为外力超静定系统
2. 仅在结构内部存在多余约束，即内力是超静定的，可称为内力超静定系统
3. 在结构外部和内部均存在多余约束，即支反力和内力是超静定的，也称联合超静定结构

次数的判定：

方法：

解决多余的约束，将超静定结构变为1或多个静定结构，解除的约束数量为超静定次数。解除约束主要可分为三种

1. 去掉一个可动铰支座、或切断一根链杆= 解除一个线位移约束
2. 去除一个铰接——解除两个线位移约束
3. 去掉一个刚性连接=解除两个线位移约束+一个角位移约束

方法：

1. 力法：以未知力为基本未知量的求解方法
2. 位移法：以未知位移为基本未知量的求解方法

用力法解超静定结构

过程

1. 判定超静定次数：

   解除超静定结构的多余约束，永多余的约束力代替多余约束，得到一个几何不变的静定系统，称为相当系统

2. 加上变形几何条件

3. 求出多余的约束力

4. 在相当系统的基础上求解原来系统的内力和变形

力法正则方程

上述为力法正则方程的基本表达式

最应该注意的就是角标的问题

复杂的超静定问题的正则方程：

其中角标问题的说明

1. 先进行大的说明：$\delta$为单位值的力对应的位移，$X$为对应未知力的大小，$\Delta$为在外力的作用下产生的位移
2. 前面的下角标代表位移的位置和方向，后面的下角标代表是哪个力产生的位移
3. 最后一个公式表明行列式是对称的

步骤：

1. 使用单位载荷法将外力引起的位移求出来，一共需要求出n个
2. 使用单位载荷法将$\delta$求出来，注意对称性
3. 带入正则方程中将未知力的大小求解出来

对称和反对称性质的应用

• 对称结构：结构几何尺寸、形状、构件材料及约束条件均对称于某一轴，则称此结构为对称结构
• 对称变形：当对称结构受力也对称于结构对称轴，则此结构将产生对称变形
• 反对称变形：受力反对称于结构对称轴，则结构将产生反对称变形

对称结构—对称变形—反对称变形

• 对称结构：将结构绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的部分将完全重合。
• 对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的作用点和作用方向将重合，而且每对力数值相等。
• 反对称载荷：绕对称轴对折后，结构在对称轴两边的载荷的数值相等，作用点重合而作用方向相反。

应用

对称结构+对称载荷

• 对称截面上的反对称内力为零。

反对称结构+反对称载荷

• 反对称对称截面上的对称内力为零。

如何产生对称、非对称载荷：

步骤:

1. 判断是什么类型
2. 沿着对称轴的方向（线）切开
3. 利用上述的结论简化求解的过程

动载荷

概述

以前讨论的杆件变形问题，认为载荷从零开始平缓地增加，以至在加载过程中，杆件内各点的加速度很小，可以不计，即在加载过程中，认为杆件在任一时刻都处在平衡状态。

但是在实际的工程问题中，很多高速旋转或者加速提升的构件上的质点的加速度非常明显

基本概念

• 静载荷：载荷由零缓慢增长至最终值，然后保持不变。构件内各质点加速度很小，可略去不计
• 动载荷：载荷作用过程中其随时间快速变化，或其本身不稳定（包括大小、方向），构件内各质点加速度较大。

动响应

上述为动荷因数

构件在动载荷作用下产生的各种响应（如应力、应变、位移等），称为动响应。

在静载荷下服从胡克定律的材料，只要应力不超过比例极限，在动载荷下胡克定律仍成立。

动静法

将静载荷下的应力、变形乘以动荷因数$K_d$既可以得到动载荷下的应力与变形

小结：

实际上作用在物体上的力是恒定的，相当于是静态的问题（使用动静法解题）

冲击

• $$ K_d=1+\sqrt{1+\frac{2h}{\Delta_{st}}} $$$$ \sigma_d=\frac{P_d}{A}=\frac{K_dP}{A}=K_d\sigma_{st} $$
• $$ K_d=\frac{\Delta_d}{\Delta_{st}}=\sqrt{\frac{\nu^2}{g\Delta_{st}}} $$

  其中的静压缩量为载荷的重量直接水平作用时的效果

解题步骤

1. 先求出静位移

2. 求出冲击动荷因数

   

3. 求出动载荷、动位移、动应力

   

交变应力

交变应力和疲劳失效

构件内一点的应力随着时间做周期性变化，这种应力称为交变应力

• 特征

  • $$ r=\frac{\sigma_{\min}}{\sigma_{\max}} $$

    r=-1：对称循环

    r<0：拉压循环

    r>0：拉拉循环或压压循环

  • $$ \sigma_a=\frac{1}{2}(\sigma_{\max}-\sigma_{\min}) $$
  • $$ \sigma_\mathrm{m}=\frac{1}{2}(\sigma_\mathrm{max}+\sigma_\mathrm{min}) $$

疲劳破坏

特点：

1. 交变应力的破坏应力值一般低于静载荷作用下的强度极限值，有时甚至低于材料的屈服极限。
2. 无论是脆性还是塑性材料，交变应力作用下均表现为脆性断裂，无明显塑性变形。
3. 断口表面可明显区分为光滑区与粗糙区两部分。

过程：

裂纹萌生；裂纹扩展；构件断裂。

分类：

• 对称循环

• 非对称循环

• 静循环

疲劳极限：

复习

绪论

截面法的使用（截取代平），分析受力

轴向的拉伸与压缩

轴力，横截面上均匀分布正应力，斜截面上的应力（最后也要有）

正应力的计算公式

低碳钢的拉升阶段

强度条件，胡克定律

EA为抗拉刚度，E为杨氏模量

泊松比的概念，温度应力

温度应力和装配应力，变形协调方程（列出普通的方程，也可以使用力法）

扭转

剪切胡克定律

横截面上的切应力公式

最大的切应力

极惯性矩(Ip)，抗扭截面系数(Wt)

扭转角和单位长度的扭转角

弯曲

从之后都是十分的重点了

适用的条件：平面弯曲

剪力和弯矩的正负：剪力是顺时针转动为正（左上右下）；弯矩，下凸为正。在钢架的时候画在钢架的受压侧

受力平衡时是对截面进行分析的

弯曲正应力的公式和弯曲切应力的公式

Iz，Wz

截面的设计，面积相同时，选择弯曲截面系数较大的截面，常使用工字型，框型截面

抗弯截面系数和抗扭截面系数的关系

对于非对称的截面的校核可能会比较麻烦

挠曲线的近似微分方程

刚度条件

使用叠加法计算弯曲变形

将内力图画出来

应力和应变分析，组合变形

这一部分是重点

求解主应力和主应力单元体

应力状态，解析法（公式的记忆）和图解法（应力圆）

主应变

强度理论，三四强度理论是非常重要的

主应力单元体，主应力是有三个的，千万不能只写两个

广义胡克定理（主应力和主应变）

相当应力的概念进行指代

组合变形

也是重点

1. 拉弯组合：单向应力状态
2. 弯扭组合：二向应力状态，有公式
3. 拉弯扭组合的

压杆稳定

必考，因为是一个完全独立的内容

欧拉公式

柔度

临界应力的总图

与理论的进行比较

动载荷

动静法，达朗贝尔原理

冲击问题，突加载荷的动荷因数

突加的载荷和平稳加的载荷的功有二倍的关系

交变应力

做周期性变化的

能量法

互等定理

卡式定理

单位载荷法（超静定问题有着很重要的应用）

弯扭组合变形的卡式定理

超静定的结构

变形协调条件

力法正则方程

进行超静定次数的判断

对称变形和反对称变形

使用力法解超静定方程

真题解析

1. 柔度的计算（计算的公式和不同的情况下的常数的值要记住）

2. 组合变形和强度理论的公式

3. 弯矩方程的求解，挠度的求解·

非静定问题：

1. 先是去掉多余的约束，这个多余的约束必须是不产生位移的
2. 对整个机构都遍布摩尔积分，正应力、弯矩和扭矩必须都有（剪力一般不考虑），千万不能少
3. 是对外力求位移的，而且求的的特定方向的位移（竖直方向、转角等等）

• 单位载荷求位移是求所有的外力的作用下的位移，所以所有的力产生的能都得求
• 但是求超静定问题是某一力单独作用时产生的位移，所以一个一个力单独求。

物理量的方向一定要记得写上去

不管是卡式定理，还是单位载荷法，所求的位移都是力对应的位移，不能一下求出多种位移

叠加法求出转角和挠度的原理

1. 对于所求的杆件，先将一端（一般为两个载荷公用的地方）的转角求出，再加上单独载荷作用时的（就是先将所求那一段的杆件钢化）

2. 每一载荷单独作用下的截面的挠度和转角的叠加就是实际的转角和挠度

   

   所示，就是将原来作用在C上的力变为作用在B上，对AB段使用叠加的方法，之后认为BC是左端固定的，仅仅对BC使用叠加法，将计算的结果叠加即可，而挠度先用B的转角乘以长度，在加上仅仅对BC受力的挠度

TODO

那些图像的记忆（$\sigma$）

老师讲的历年卷（第五题、）

• 公式的记忆（惯性矩的公式、强度理论的公式、剪力的计算公式）

• 还有就是老师说的那个非常难的题目（就在期末的复习里面）

• 超静定问题中将杆件截断的问题

• 非对称的截面的弯矩的计算，将翼缘（比较宽的那一侧置于受拉侧）

• 强度理论计算

• 动载荷问题的求解

• 几何问题，惯性矩这些

先求支反力！！！

画弯矩图像的时候记得先画出来剪力的图像，正负注意~！

弯矩方程在分段时，一定要确保分段处的相等！

平面桁架的超静定次数的计算公式：n=m+r-2j（m：桁架杆件数,r：支座约束数，支座提供的约束的总数,j：节点数）（设计与制造？）

在将杆件截断的时候，要将两边的力都进行分析（都加上作为单位力）

对圆环的内力的求解，可以截取，可以截取之后将一端看做是墙（因为不能动）